Теория:
Квадратным уравнением называют уравнение вида , где коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) — любые действительные числа, причём .
Коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) имеют отдельные названия:
\(a\) называют первым коэффициентом, или старшим коэффициентом;
\(b\) — вторым коэффициентом, или коэффициентом при \(x\);
\(c\) — третим коэффициентом, или свободным членом.
Если старший коэффициент квадратного уравнения равен \(1\), то такое уравнение называют приведённым;
если старший коэффициент отличен от \(1\), то квадратное уравнение называют неприведённым.
Уравнение имеет старший коэффициент, равный \(3\), поэтому оно неприведённое,
а уравнение имеет старший коэффициент, равный \(1\), поэтому оно приведённое.
Квадратные уравнения также бывают полные и неполные.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты \(b\) и \(c\) не равны нулю.
Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором отсутствуют некоторые слагаемые; иначе говоря, это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов \(b\), \(c\) нулевой.
Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной \(x\), при котором квадратный трёхчлен обращается в нуль; такое значение переменной \(x\) называют также корнем квадратного трёхчлена.
Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1. Уравнение вида имеет одно решение: \(x=0\).
2. Уравнение вида решается способом разложения на множители и имеет два решения: \(x(ax + b) = 0\); то есть \(x = 0\) или \(ax + b = 0\). Получаем: .
3. Уравнение вида записывают как , потом .
Если — отрицательное число, уравнение не имеет решений (исходное уравнение также не имеет решений).
Если — положительное число, т. е. , где \(m > 0\), уравнение имеет два корня: , . В этом случае допускается более короткая запись: .
Обрати внимание!
Квадратное уравнение (полное или неполное) может иметь два корня, один корень или не иметь корней.