Теория:
Квадратным уравнением называют уравнение вида , где коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) — любые действительные числа, причём .
Коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) имеют отдельные названия:
\(a\) называют первым коэффициентом, или старшим коэффициентом;
\(b\) — вторым коэффициентом, или коэффициентом при \(x\);
\(c\) — третим коэффициентом, или свободным членом.
Если старший коэффициент квадратного уравнения равен \(1\), то такое уравнение называют приведённым;
если старший коэффициент отличен от \(1\), то квадратное уравнение называют неприведённым.
Уравнение имеет старший коэффициент, равный \(3\), поэтому оно неприведённое,
а уравнение имеет старший коэффициент, равный \(1\), поэтому оно приведённое.
Квадратные уравнения также бывают полные и неполные.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты \(b\) и \(c\) не равны нулю.
Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором отсутствуют некоторые слагаемые; иначе говоря, это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов \(b\), \(c\) нулевой.
Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной \(x\), при котором квадратный трёхчлен обращается в нуль; такое значение переменной \(x\) называют также корнем квадратного трёхчлена.
Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1. Уравнение вида имеет одно решение: \(x=0\).
2. Уравнение вида решается способом разложения на множители и имеет два решения: \(x(ax + b) = 0\); то есть \(x = 0\) или \(ax + b = 0\). Получаем: .
3. Уравнение вида записывают как , потом .
Если — отрицательное число, уравнение не имеет решений (исходное уравнение также не имеет решений).
Если — положительное число, т. е. , где \(m > 0\), уравнение имеет два корня: , . В этом случае допускается более короткая запись: .
Обрати внимание!
Квадратное уравнение (полное или неполное) может иметь два корня, один корень или не иметь корней.
Для решения квадратных уравнений полезно иметь под рукой таблицу квадратов.
| Десятки | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0 | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) | \(36\) | \(49\) | \(64\) | \(81\) |
1 | \(100\) | \(121\) | \(144\) | \(169\) | \(196\) | \(225\) | \(256\) | \(289\) | \(324\) | \(361\) |
2 | \(400\) | \(441\) | \(484\) | \(529\) | \(576\) | \(625\) | \(676\) | \(729\) | \(784\) | \(841\) |
3 | \(900\) | \(961\) | \(1024\) | \(1089\) | \(1156\) | \(1225\) | \(1296\) | \(1369\) | \(1444\) | \(1521\) |
4 | \(1600\) | \(1681\) | \(1764\) | \(1849\) | \(1936\) | \(2025\) | \(2116\) | \(2209\) | \(2304\) | \(2401\) |
5 | \(2500\) | \(2601\) | \(2704\) | \(2809\) | \(2916\) | \(3025\) | \(3136\) | \(3249\) | \(3364\) | \(3481\) |
6 | \(3600\) | \(3721\) | \(3844\) | \(3969\) | \(4096\) | \(4225\) | \(4356\) | \(4489\) | \(4624\) | \(4761\) |
7 | \(4900\) | \(5041\) | \(5184\) | \(5329\) | \(5476\) | \(5625\) | \(5776\) | \(5929\) | \(6084\) | \(6241\) |
8 | \(6400\) | \(6561\) | \(6724\) | \(6889\) | \(7056\) | \(7225\) | \(7396\) | \(7569\) | \(7744\) | \(7921\) |
9 | \(8100\) | \(8281\) | \(8464\) | \(8649\) | \(8836\) | \(9025\) | \(9216\) | \(9409\) | \(9604\) | \(9801\) |