Теория:

Последовательность, в которой каждый следующий член можно найти, прибавив к предыдущему одно и то же число \(d\), называется арифметической прогрессией.
Если последовательность (an) является арифметической прогрессией, то для любого натурального значения \(n\) справедлива зависимость  an+1 \(=\) an \(+\) d.
Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и разность d, то возможно вычислить любой член арифметической прогрессии:
a2 \(=\) a1 \(+\) d;
a3 \(=\) a2 \(+\) d \(=\) a1 \(+2\) d;
a4 \(=\) a3 \(+\) d \(=\) a1 \(+3\) d
и т. д.
\(n\)-ый член арифметической прогрессии можно получить, если к первому члену прогрессии добавить (\(n -1\)) разностей, т. е.,
an \(=\) a1 \(+\) d(n1),
где \(n\) — порядковый номер члена прогрессии, a1 — первый член прогрессии, d — разность.
 
Это равенство называется общей формулой арифметической прогрессии.
Её используют, чтобы вычислить \(n\)-ый член арифметической прогрессии (например, десятый, сотый и др.), если известны первый член последовательности и разность.
Пример:
дана арифметическая прогрессия (an), где a1 \(= 0\) и d \(= 2\). 
Написать:
a) первые пять членов прогрессии;
b) десятый член прогрессии.  
 
a. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:
                  a2 \(=\) a1 \(+\) d \(= 0+2=2\);
  
                  a3 \(=\) a2 \(+\) d \(= 2+2=4\);
  
                  a4 \(=\) a3 \(+\) d \(= 4+2=6\);
  
                  a5 \(=\) a4 \(+\) d \(= 6+2=8\).
  
b. Используется общая формула an \(=\) a1 \(+\) d(n1)
Если \(n = 10\), то вместо \(n\) в формулу подставляется \(10\):  
a10 \(=\) a1 \(+\) 2(101)
a10 \(= 0+\) 29;
a10 \(= 18\).
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии
Сумму первых \(n\) членов арифметической прогрессии можно найти, используя формулу:
Sn \(=\) (a1+an)n2, где \(n\) — число членов последовательности.
Пример:
дана арифметическая прогрессия (an), где a1 \(= 0\) и d \(= 2\). 
Написать сумму первых пяти членов последовательности.
  
Sn \(=\) (a1+an)n2, где \(n = 5\) и an \(=\) a5 \(= 8\) (из предыдущего примера);
  
S5 \(=\) (a1+a5)52 \(=\) (0+8) ·52 \(=\) 20.