Теория:
Последовательность, в которой каждый следующий член можно найти, прибавив к предыдущему одно и то же число \(d\), называется арифметической прогрессией.
Число называется разностью арифметической прогрессии.
Если известен первый член арифметической прогрессии и разность , то возможно вычислить любой член арифметической прогрессии:
\(=\) \(+\) ;
\(=\) \(+\) \(=\) \(+2\) ;
\(=\) \(+\) \(=\) \(+3\)
и т. д.
\(n\)-ый член арифметической прогрессии можно получить, если к первому члену прогрессии добавить (\(n -1\)) разностей, т. е.,
\(=\) \(+\) ,
где \(n\) — порядковый номер члена прогрессии, — первый член прогрессии, — разность.
Это равенство называется общей формулой арифметической прогрессии.
Её используют, чтобы вычислить \(n\)-ый член арифметической прогрессии (например, десятый, сотый и др.), если известны первый член последовательности и разность.
Пример:
дана арифметическая прогрессия (), где \(= 0\) и \(= 2\).
Написать:
a) первые пять членов прогрессии;
b) десятый член прогрессии.
a. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:
\(=\) \(+\) \(= 0+2=2\);
\(=\) \(+\) \(= 2+2=4\);
\(=\) \(+\) \(= 4+2=6\);
\(=\) \(+\) \(= 6+2=8\).
b. Используется общая формула \(=\) \(+\) .
Если \(n = 10\), то вместо \(n\) в формулу подставляется \(10\):
\(=\) \(+\) ;
\(= 0+\) ;
\(= 18\).
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии
Сумму первых \(n\) членов арифметической прогрессии можно найти, используя формулу:
\(=\) , где \(n\) — число членов последовательности.
Пример:
дана арифметическая прогрессия (), где \(= 0\) и \(= 2\).
Написать сумму первых пяти членов последовательности.
\(=\) , где \(n = 5\) и \(=\) \(= 8\) (из предыдущего примера);
\(=\) \(=\) \(=\) 20.