Теория:

Функцию y=f(x), x, называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью, и обозначают \(y=f(n)\), или y1,y2,y3...yn...
Значения y1,y2,y3...yn — члены последовательности: первый, второй, третий (и т. д.).
 
В записи yn число \(n\) — индекс, задающий порядковый номер члена последовательности. Альтернативным вариантом обозначения последовательности является запись yn.

Мы знакомы с различными способами задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный. Для задания последовательностей особое внимание следует уделить следующим способам задания: аналитический, словесный и рекуррентный.

1. Аналитическое задание последовательности.

Чтобы задать последовательность аналитически, необходимо указать формулу её \(n\)-го члена yn=f(n).

Пример:

1. yn=n3.

Продемонстрирован аналитический способ задания последовательности \(1, 8, 27, 64...\) n3\(...\), о которой шла речь выше.

Пример:

2. yn=B. Показан пример последовательности \(B, B, B... B...\), которую называют стационарной.

  
2. Словесное задание последовательности.

Пример:

последовательность простых чисел: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...\)

Последовательность задана словесно.

Данный способ задания последовательности не всегда эффективен, т. к. бывает очень сложно по словесному описанию найти аналитическое представление последовательности.

3. Рекуррентное задание последовательности.

Название способа произошло от латинского слова recurrere — возвращаться. При рекурентном задании последовательности даётся формула или правило для вычисления \(n\)-ого члена последовательности через предыдущий \((n-1)\)-ый член.

Так, второй член последовательности мы можем рассчитать по первому, третий — по второму и т. д..

Иногда даётся формула, позволяющая выразить \(n\)-й член последовательности через два или три предыдущие, и задают первые два-три члена последовательности.

Пример:
y1=2;yn=yn1+3, если n=2,3,4...
Имеем
y1=2;y2=y1+3=2+3=5;y3=y2+3=5+3=8;y4=y3+3=8+3=11и т.д.

Получили последовательность \(2, 5, 8, 11...\)

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

Последовательность yn называют возрастающей, если каждый её член (за исключением первого) больше предыдущего.
 

Последовательность yn называют убывающей, если каждый её член (за исключением первого) меньше предыдущего.