Степенная функция с натуральным показателем

Функцию вида

y = x^{n}, где n = 1, 2, 3, 4, 5 ...

, называют cтепенной функцией с натуральным показателем.

Функция

y = x^{4}, x \geq 0

Найдём несколько пар значений $x$ и $y$ и занесём в таблицу.

$x$	$0$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$y$	$0$	$1$	$\frac{1}{16}$	$\frac{81}{16}$

Отметим точки

(0; 0)

(1; 1)

(\frac{1}{2}; \frac{1}{16})

(\frac{3}{2}; \frac{81}{16})

в системе координат.

Соединим точки непрерывной линией:

Добавим к данному графику линию, симметричную построенной относительно оси ординат. Мы получили график функции

y = x^{4}, x \in (- \infty; + \infty)

, две ветви которого направлены вверх.

Обрати внимание!

График функции

y = x^{4}

не называют параболой!

Свойства функции

y = x^{4}

D (f) = (- \infty; + \infty)

;

2. функция является чётной;

3. промежуток убывания:

(- \infty; 0]

, промежуток возрастания:

[0; + \infty)

;

4. функция является ограниченой снизу, сверху не ограничена;

y_{наим} = 0; y_{наиб}

— не имеет;

6. функция является непрерывной на области определения;

E (f) = [0; + \infty)

;

8. функция выпукла вниз.

Функция

y = x^{3}

Функция

y = x^{3}

— нечётная функция, следовательно, её график симметричен относительно начала координат. Поэтому для построения графика достаточно построить правую ветвь графика (при положительных $x$) и симметрично отобразить её относительно точки $O$ ($0$,$0$).

График функции

y = x^{3}

при

x \geq 0

имеет примерно такой же вид, как и график функции

y = x^{4}

при

x \geq 0

, однако необходимо взять во внимание, что новая кривая не так круто идёт вверх.

Построим левую ветвь графика (при отрицательных $x$) симметричным отображением его правой ветви относительно начала координат. Полученный график функции