Теория:
Исследование функции на монотонность
Функцию \(y=f(x)\) называют возрастающей на множестве , если для любых точек и множества \(X\) — таких, что — выполняется неравенство .
Функцию \(y=f(x)\) называют убывающей на множестве , если для любых точек и множества \(X\) — таких, что — выполняется неравенство .
Обрати внимание!
Иными словами:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Исследование функции на ограниченность
Функцию \(y=f(x)\) называют ограниченной снизу на множестве , если все значения этой функции на множестве \(X\) больше некоторого числа; иными словами, если существует число \(m\) — такое, что для любого значения выполняется неравенство .
Функцию \(y=f(x)\) называют ограниченной сверху на множестве , если все значения этой функции на множестве \(X\) меньше некоторого числа; иными словами, если существует число \(M\) — такое, что для любого значения выполняется неравенство .
Наименьшее и наибольшее значения функции
Число \(m\) называют наименьшим значением функции \(y=f(x)\) на множестве , если
1) существует точка , такая, что ;
2) для любого значения выполняется неравенство .
Число \(M\) называют наибольшим значением функции \(y=f(x)\) на множестве , если
1) существует точка , такая, что ;
2) для любого значения выполняется неравенство .
Обозначения:
— наименьшее значение функции;
— наибольшее значение функции.
Если функция имеет наибольшее значение , то её называют ограниченой сверху.
Если функция имеет наименьшее значение , то её называют ограниченной снизу.
Соответственно, можно рассуждать наоборот. Если функция не ограничена сверху, то у неё не существует наибольшего значения . И если функция не ограничена снизу, то у неё не существует наименьшего значения .
Нули функции
Нулём функции \(y=f(x)\) называется такое значение аргумента , при котором функция обращается в нуль.