Теория:
Рациональным неравенством с одной переменной \(x\) называют неравенство вида \(f(x) < g(x)\), где \(f(x)\) и \(g(x)\) — рациональные выражения.
Рациональные выражения с одной переменной — алгебраические выражения, включающие числа, переменную и математические действия (операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень).
Для решения рационального неравенства используют равносильные преобразования и приводят неравенство к виду \(h(x)<0\), где \(h(x)\) — многочлен, произведение многочленов или алгебраическая дробь. Затем применяют метод интервалов.
решить неравенство .
Решение
1. Найдём корни квадратного трёхчлена
и разложим его на множители по формуле :
2. Разделим обе части неравенства на положительное при всех значениях \(x\)
выражение , при этом знак неравенства \(>\) не поменяется:
3. Отметим на числовой прямой корни и найдём знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале.
Для этого из каждого интервала достаточно взять произвольно по одному значению и подставить вместо \(x\) в трёхчлен.

На интервале возьмём \(x=-2\), тогда .
На интервале возьмём \(x=0\), тогда .
На интервале возьмём \(x=5\), тогда .
Квадратный трёхчлен принимает положительные значения на интервалах и .
Ответ: .
Источники:
Изображение: решение неравенства. © ЯКласс.