1. Решение рациональных неравенств методом интервалов

Теория:

Рациональным неравенством с одной переменной \(x\) называют неравенство вида \(f(x) < g(x)\), где \(f(x)\) и \(g(x)\) — рациональные выражения.
Рациональные выражения с одной переменной — алгебраические выражения, включающие числа, переменную и математические действия (операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень).
 
Для решения рационального неравенства используют равносильные преобразования и приводят неравенство к виду \(h(x)<0\), где \(h(x)\) — многочлен, произведение многочленов или алгебраическая дробь. Затем применяют метод интервалов.
Пример:
решить неравенство x2+32x2−7x−4>0.
Решение
1. Найдём корни квадратного трёхчлена 2x2−7x−4
и разложим его на множители по формуле ax2+bx+c=ax−x1x−x2:
2x2−7x−4=0;D=b2−4ac=−72−4⋅2⋅−4=49+32=81;x1=−b−D2a=−−7−812⋅2=7−94=−24=−12=−0,5;x2=−b+D2a=−−7+812⋅2=7+94=164=4;2x2−7x−4=2x+0,5x−4;2x+0,5x−4=0:2;x+0,5x−4=0;x1=−0,5;x2=4.
 
2. Разделим обе части неравенства на положительное при всех значениях \(x\)
выражение x2+3, при этом знак неравенства \(>\) не поменяется:
x2+3x+0,5x−4:x2+3>0:x2+3;x2+3x+0,5x−4⋅1x2+3>0;x2+3⋅1x+0,5x−4⋅x2+3>0;1x+0,5x−4>0.
 
3. Отметим на числовой прямой корни и найдём знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале.
Для этого из каждого интервала достаточно взять произвольно по одному значению и подставить вместо \(x\) в трёхчлен.
46_t01.png
На интервале −∞;−0,5 возьмём \(x=-2\), тогда 2⋅−22−7⋅−2−4=2⋅4+14−4=18>0.
На интервале −0,5;4 возьмём \(x=0\), тогда 2⋅02−7⋅0−4=0−0−4=−4<0.
На интервале 4;+∞ возьмём \(x=5\), тогда 2⋅52−7⋅5−4=2⋅25−35−4=50−39=11>0.
 
Квадратный трёхчлен принимает положительные значения на интервалах −∞;−0,5 и 4;+∞.
 
Ответ: −∞;−0,5 и 4;+∞.
Вернуться в тему
Следующая теория
Copyright © 2023 ООО ТЕОРЕМА ЗНАНИЙ