Теория:

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое состоит из чисел и переменной \(x\), а также операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
 
Если \(r(x)\) — рациональное выражение, то уравнение \(r(x) = 0\) называют рациональным уравнением.
Для практической деятельности наиболее удобно пользоваться другим определением, более развёрнутым.  Рациональное уравнение — это уравнение вида \(h(x) = q(x)\), где \(h(x)\) и \(q(x)\) — рациональные выражения.
 
Ранее мы могли решить только рациональное уравнение, которое путём различных преобразований и рассуждений приводится к линейному виду.
 
Сейчас мы умеем больше: можем решить рациональное уравнение, сводящееся и к линейному, и к квадратному уравнению.
 
Еще раз покажем, как мы решали рациональные уравнения ранее, и сформулируем ход решения.
Пример:
решить уравнение 5x3x32=3x.
Перенесём все слагаемые в левую часть 5x3x32+3x=0.
При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства \(A = B\) и \(A - B = 0\) выражают одну и ту же зависимость между \(A\) и \(B\). Это и позволило нам перенести член 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком.
Выполним преобразования левой части уравнения: 5x3(xx32(x(x3)1+3(x3x=x(5x3)2xx3+3x3xx3=5x23x2x2+6x+3x9xx3==3x2+6x9xx3=3x2+2x3xx3.
Получили уравнение вида 3x2+2x3xx3=0.
 
Вспомним условия равенства дроби нулю: ab=0 — тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:
 
1. числитель дроби равен нулю \((а = 0)\);
2. знаменатель дроби отличен от нуля: b0.
 
Приравняв к нулю числитель дроби в левой части уравнения, получим
3x2+2x3=0;x2+2x3=0;x1,2=2±2241(3)2=2±4+122=2±42;x1=2+42=1;x2=242=3.
 
Выполним проверку второго указанного выше условия. Соотношение b0 означает для уравнения, что xx30x0;x3. Корни x1=1;x2=3  являются решениями уравнения, т. к. удовлетворяют поставленному условию.
 
Ответ: \(1; -3\).
В ситуации, когда среди корней числителя получается число, которое обращает в ноль знаменатель дроби, тогда это число не включают в ответ, оно является посторонним корнем.
 
Ход решения рационального уравнения
1. Переносим все члены уравнения в левую часть.
 
2. Преобразовываем левую часть уравнения к виду алгебраической дроби p(x)q(x).
 
3. Решаем уравнение \(p(x)=0\).
 
4. Для каждого корня уравнения \(p(x)=0\) выполняем проверку: удовлетворяет ли он условию qx0 или нет. Если выполняет, тогда это корень заданного уравнения; если не выполняет, то это посторонний корень, в ответ его не включаем.