Теория:

Мы неоднократно решали уравнения с помощью метода введения новой переменной (метода замены). Ниже продемонстрируем особенности использования этого метода при решении рациональных уравнений.
Пример:
Реши уравнение x4+5x236=0.
Введём новую переменную y=x2. Так как x4=x22=y2, то заданное уравнение можно переписать в виде y2+5y36=0.
 
Это  квадратное уравнение. Находим корни данного уравнения:
y1,2=5±5241362=5±1692=5±132;y1=5+132=4;y2=5132=9.
 
Выполним обратную замену y=x2, получим квадратные уравнения:
x2=4;x2=9.
 
Первое уравнение имеет два корня x1,2=±2, второе — не имеет решений.
 
Ответ: x1,2=±2.
Решённое уравнение называется биквадратным.
Биквадратное уравнение — уравнение вида ax4+bx2+c=0.
Биквадратное уравнение с другими коэффициентами решается аналогично: делают замену переменной y=x2, находят корни квадратного уравнения относительно \(y\), а затем выполняют обратную замену и решают полученные уравнения относительно \(x\).
 
В рассмотренном примере продемонстрировано рациональное применение метода введения новой переменной при решении биквадратных уравнений.
 
Этому свидетельствует следующее: одинаковые выражения, которые не раз встречались в записи уравнения, удобно обозначить новой переменной. Однако бывает, что новая переменная "всплывает" в результате преобразований. Рассмотрим такой пример.
Пример:
Реши уравнение xx1x3x4=2.
Имеем xx4=x24x;x1x3=x24x+3.
 
Перепишем заданное уравнение в виде x24xx24x+3=2.
 
Введём новую переменную: y=x24x.
 
Получим уравнение в виде yy+3=2;y2+3y+2=0.
 
Корнями этого уравнения служат числа \(-1\) и \(-2\).
Возвращаясь к исходной переменной \(x\), получаем два уравнения: x24x=1;x24x=2.
 
Из первого уравнения находим x1,2=2±3; из второго уравнения находим x3,4=2±2.
 
Ответ: x1,2=2±3, x3,4=2±2.