2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной тебе знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.

Пример:

Реши уравнение

x^{4} + x^{2} - 20 = 0

Введём новую переменную

y = x^{2}

. Так как

x^{4} = {(x^{2})}^{2} = y^{2}

, то заданное уравнение можно переписать в виде

y^{2} + y - 20 = 0

Это квадратное уравнение. Находим корни данного уравнения:

\begin{array}{l} y_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{- 1 \pm 9}{2}; \\ y_{1} = \frac{- 1 + 9}{2} = 4; y_{2} = \frac{- 1 - 9}{2} = - 5 . \end{array}

Но

y = x^{2}

, значит, задача свелась к решению двух уравнений:

\begin{array}{l} x^{2} = 4; \\ x^{2} = - 5 . \end{array}

Из первого уравнения находим

x_{1,2} = \pm 2

, второе уравнение не имеет корней.

Ответ:

x_{1,2} = \pm 2

Уравнение вида

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

называют биквадратным уравнением («би» — два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение).

Только что решённое уравнение было именно биквадратным.

Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из ранее приведённого примера: вводят новую переменную

y = x^{2}

, решают полученное квадратное уравнение относительно переменной \(y\), а затем возвращаются к переменной \(x\).

В рассмотренном примере метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал.

Почему? Да потому, что одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз, и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.

Пример:

реши уравнение