2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Мы неоднократно решали уравнения с помощью метода введения новой переменной (метода замены). Ниже продемонстрируем особенности использования этого метода при решении рациональных уравнений.

Пример:

Реши уравнение

x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0

Введём новую переменную

y = x^{2}

. Так как

x^{4} = {(x^{2})}^{2} = y^{2}

, то заданное уравнение можно переписать в виде

y^{2} + 5y - 36 = 0

Это квадратное уравнение. Находим корни данного уравнения:

\begin{array}{l} y_{1,2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{- 5 \pm 13}{2}; \\ y_{1} = \frac{- 5 + 13}{2} = 4; y_{2} = \frac{- 5 - 13}{2} = - 9 . \end{array}

Выполним обратную замену

y = x^{2}

, получим квадратные уравнения:

\begin{array}{l} x^{2} = 4; \\ x^{2} = - 9 . \end{array}

Первое уравнение имеет два корня

x_{1,2} = \pm 2

, второе — не имеет решений.

Ответ:

x_{1,2} = \pm 2

Решённое уравнение называется биквадратным.

Биквадратное уравнение — уравнение вида

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

Биквадратное уравнение с другими коэффициентами решается аналогично: делают замену переменной

y = x^{2}

, находят корни квадратного уравнения относительно \(y\), а затем выполняют обратную замену и решают полученные уравнения относительно \(x\).

В рассмотренном примере продемонстрировано рациональное применение метода введения новой переменной при решении биквадратных уравнений.

Этому свидетельствует следующее: одинаковые выражения, которые не раз встречались в записи уравнения, удобно обозначить новой переменной. Однако бывает, что новая переменная «всплывает» в результате преобразований. Рассмотрим такой пример.

Пример:

Реши уравнение