Теория:
Мы неоднократно решали уравнения с помощью метода введения новой переменной (метода замены). Ниже продемонстрируем особенности использования этого метода при решении рациональных уравнений.
Пример:
Реши уравнение .
Введём новую переменную . Так как , то заданное уравнение можно переписать в виде .
Это квадратное уравнение. Находим корни данного уравнения:
Но , значит, задача свелась к решению двух уравнений:
Из первого уравнения находим , второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Уравнение четвёртой степени вида называют биквадратным уравнением.
Уравнение, которое мы решили выше, является биквадратным.
Биквадратное уравнение с другими коэффициентами решается аналогично: вводят новую переменную , решают полученное квадратное уравнение относительно переменной \(y\), а затем возвращаются к переменной \(x\).
В рассмотренном примере продемонстрировано рациональное применение метода введения новой переменной при решении биквадратных уравнений.
Этому свидетельствует следующее: одинаковые выражения, которые не раз встречались в записи уравнения, удобно обозначить новой переменной. Однако бывает, что новая переменная "всплывает" в результате преобразований. Рассмотрим такой пример.
Пример:
Реши уравнение .
Имеем
Перепишем заданное уравнение в виде .
Введём новую переменную: .
Получим уравнение в виде
Корнями этого уравнения служат числа \(-1\) и \(-2\).
Возвращаясь к исходной переменной \(x\), получаем два уравнения:
Из первого уравнения находим ; из второго уравнения находим .
Ответ: , .