Теория:
Если необходимо найти все пары значений \((x;y)\), удовлетворяющие обоим уравнениям и , тогда поставлена задача решить систему уравнений.
Формат записи системы уравнений следующий: каждое уравнение записывают с новой строки, объединив их фигурной скобкой:
Пара значений \((x;y)\), которая сразу является решением обоих уравнений системы, называются решением системы.
Решить систему — это обозначает, что все её решения найдены или установлено, что их нет.
Одним из способов решения системы линейных уравнений является графический способ.
Пример:
1. Решить систему уравнений:
График уравнения — прямая.
Найдём два решения уравнения:
| \(x\) | \(0\) | \(6\) |
| \(y\) | \(1\) | \(3\) |
В системе координат через полученные две точки проведём прямую .
Построим график уравнения . Он тоже является прямой.
Найдём два решения уравнения:
| \(x\) | \(0\) | \(6\) |
| \(y\) | \(-2\) | \(0\) |
Через полученные две точки проведём прямую .
Прямые и параллельны (не имеют общих точек), значит, система не имеет решений.
Ответ: решений нет.
2. Решить систему уравнений:
График уравнения \(y=2x-5\) — прямая. Найдём две точки прямой.
| \(x\) | \(0\) | \(3\) |
| \(y\) | \(-5\) | \(1\) |
Через найденные точки построим в прямоугольной системе координат \(xОy\) прямую .
График уравнения \(y=-2x+7\) — прямая. Найдём две точки прямой.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) |
| \(y\) | \(7\) | \(5\) |
Через найденные точки построим прямую .
Координаты точки пересечения \(A\) прямых и и есть решение системы.
Ответ: \((3;1)\).
Графический метод не точный, но он позволяет ответить на вопрос о количестве решений.
1. Если прямые пересекаются в одной точке, то координаты этой точки — единственное решение заданной системы.
2. Если прямые параллельны, значит, система не имеет решений (система несовместна).
3. Если прямые совпадают, значит, система имеет бесчисленное множество решений (система неопределённа).