Основные свойства неопределённого интеграла — урок. Алгебра, Первообразная и интеграл.

Основные свойства неопределённого интеграла:

(\int f (x) dx)' = f (x)

;

\int F' (x) dx = F (x) + C

;

\int kf (x) dx = k \int f (x) dx

, если

k \neq 0

;

\int (f (x) \pm g (x)) dx = \int f (x) dx \pm \int g (x) dx

Доказательства этих свойств

(Обозначим первообразную функции \(f(x)\) как \(F(x)\) — т. е.

F' (x) = f (x)

, или

\int f (x) dx = F (x) + C

. Так же

G' (x) = g (x)

Доказательство первого свойства:

(\int f (x) dx)' = (F (x) + C)' = F' (x) = f (x)

Доказательство второго свойства:

\int F' (x) dx = \int f (x) dx = F (x) + C

Доказательство третьего свойства:

\int kf (x) dx = \int kF' (x) dx = \int (kF (x))' dx = kF (x) + C = k (F (x) + C) = k \int f (x) dx

(здесь было использовано то, что при делении постоянной на ненулевую постоянную в результате также получается постоянная).

Доказательство четвёртого свойства:

\begin{array}{l} \int (f (x) \pm g (x)) dx = \int (F' (x) \pm g (x)) dx = \int (F (x) \pm G (x))' dx = F (x) \pm G (x) + C = \\ = (F (x) + C_{f}) \pm (G (x) + C_{g}) = \int f (x) dx \pm \int g (x) dx . \end{array}

(здесь было использовано то, что, складывая или вычитая две постоянные, получаем постоянную).

Нашёл ошибку?

1. Основные свойства неопределённого интеграла