2. Правила дифференцирования

Теорема \(1\)

Производная суммы двух функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) существует в точке \(x\), если существуют производные этих функций в точке \(x\). 

Производная суммы равна сумме производных:

${(f(x)+g(x))}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$.

Теорема \(2\)

Производная функции \(y=kf(x)\) существует в точке \(x\), если существует производная функции \(y=f(x)\) в точке \(x\).

Производная функции \(y=kf(x)\) равна произведению коэффициента \( k\) и производной функции \(y=f(x)\):

${(\mathit{kf}(x))}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)$.

Теорема \(3\)

Производная произведения двух функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) существует в точке \(x\), если существуют производные этих функций в точке \(x\).

Производная произведения двух функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) находится по формуле:

${(f(x)g(x))}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x){\cdot g}^{\prime }(x)$.

Теорема \(4\)

Производная частного двух функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) существует в точке \(x\), если существуют производные этих функций в точке \(x\)  и в этой точке $g(x)\ne 0$.

Производная $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ находится по формуле:

${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$.