3. Понятие и вычисление производной n-го порядка

Производная функции

f (x)

f^{'} (x)

, сама является функцией. Значит, можно найти её производную.

Назовём

f^{'} (x)

производной функции

f (x)

первого порядка.

Производная от производной функции

f (x)

называется производной второго порядка (или второй производной).

Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д.

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются

y'' (иногда y^{(2)}), y''' (иногда y^{(3)}), y^{(4)}, y^{(5)} ... y^{(n)} ...

Иногда используются обозначения

\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}} ... \frac{d^{n} y}{d x^{n}} ...

Ускорение есть вторая производная координаты по времени. В этом состоит механический смысл второй производной.

Производная $n$-го порядка является производной $(n-1)$ порядка: $y^{(n)} = (y^{(n - 1)})'$ .

(Сама функция иногда считается производной $0$-го порядка.)

Пример:

\begin{array}{l} y = x^{5}; \\ y' = (x^{5})' = 5 x^{4}; \\ y'' = (y')' = (5 x^{4})' = 20 x^{3}; \\ y^{(3)} = (y'')' = (5 \cdot 4 x^{3})' = 60 x^{2}; \\ y^{(4)} = (y^{(3)})' = (60 x^{2})' = 120 {x;}^{} \\ y^{(5)} = (y^{(4)})' = (120 x)' = 120; \\ y^{(6)} = y^{(7)} = y^{(8)} = ... = 0 . \end{array}

Нашёл ошибку?