3. Простейшие иррациональные уравнения

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.

Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень \(n\) обеих частей уравнения.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня — чётное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;

2) если показатель корня — нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;

3) при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.

Пример:

реши уравнения.
1)

\sqrt[4]{3 x - 2} = 2

Решение:

ОДЗ.

\begin{array}{l} 3 x - 2 \geq 0; \\ 3 x \geq 2 / : 3; \\ x \geq \frac{2}{3} . \end{array}

Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:

\(Зx - 2 = 16\);
\(3x=16+2\);
\(3x=18\);

x = 6 \in

ОДЗ.

Ответ: \(x=6\).

\sqrt{x^{2} - 24} = 1

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:

\begin{array}{l} x^{2} - 24 = 1; \\ x^{2} = 24 + 1; \\ x^{2} = 25 . \end{array}

Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня: \(-5\) и \(5\).
Произведём проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной \(x\) в исходное уравнение.

Проверка
При