1. Корень n-й степени из действительного числа

Корнем \(n\)-й степени

(n = 2, 3, 4 ...)

из числа \(а\) называется такое число \(b\), \(n\)-я степень которого равна \(а\).

Корень пятой степени из \(32\) равен \(2\), так как

2^{5} = 32

;

а корнем четвёртой степени из \(16\) будут числа \(2\) и \(-2\), так как

2^{4} = 16

{(- 2)}^{4} = 16

Нахождение корня \(n\)-ой степени из числа \(a\) называется извлечением корня \(n\)-ой степени.

Число \(а\) называют подкоренным числом,
число \(n\) — показателем корня.

Если \(n = 2\), то говорят «корень квадратный из \(a\)».

Если \(n = 3\), то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический».

Если показатель корня \(n\) — чётное число, то существует два корня \(n\)-й степени из любого положительного числа \(a (a>0)\). Эти корни являются противоположными числами. Их обозначают

\sqrt[n]{a}

и \(-\)

\sqrt[n]{a}

. Если \(n = 2\), то пишут

\sqrt{a}

(\(2\) не пишут).

Если \(a=0\), то корень \(n\)-ой степени из \(a\) равен нулю.

Если \(a < 0\), то корень \(n\)-ой степени из \(a\) не определён. Корень чётной степени из отрицательного числа не существует.

Если \(a ≥ 0\), то неотрицательный корень

\sqrt[n]{a}

называется арифметическим корнем \(n\)-ой степени из числа \(a\).

Пример:

\sqrt[4]{16}

\(=2\) — арифметический корень четвёртой степени из числа \(16\).

\sqrt[4]{- 16}

не имеет смысла.

Если показатель корня \(n\) — нечётное число, то существует единственный корень \(n\)-й степени из любого числа (положительного, отрицательного или равного нулю), при этом