2. Уравнение вида x в степени n =a

Уравнение вида

x^{n} = a

, где

a > 0, n \in N, n > 1

, в случае чётного \(n\) имеет два корня

- \sqrt[n]{a}, \sqrt[n]{a}

в случае нечётного \(n\) — один корень

\sqrt[n]{a}

(читают: корень \(n\)-ой степени из числа \(a\)).

Решая уравнение

x^{n} = 0

, получаем единственный корень \(x=0\).

Обрати внимание!

1. Если показатель степени — чётное число, то уравнение имеет два корня.
2. Если показатель степени — нечётное число, то уравнение имеет один корень.

Пример:

1. Реши уравнение:

x^{4} = 625

.
Решение: по определению корня \(n\)-ой степени

\begin{array}{l} x_{1} = \sqrt[4]{625} = 5; \\ x_{2} = - \sqrt[4]{625} = - 5 \end{array}

уравнение имеет два корня.

Ответ:

x_{1} = 5, x_{2} = - 5

2. Реши уравнение:

x^{6} = 11

Решение:

по определению корня \(n\)-ой степени

\begin{array}{l} x = \pm \sqrt[6]{11}; \\ x_{1} = \sqrt[6]{11}; \\ x_{2} = - \sqrt[6]{11} \end{array}

уравнение имеет два корня.

Ответ:

x_{1} = \sqrt[6]{11}, x_{2} = - \sqrt[6]{11}

3. Реши уравнение:

x^{7} = 13

Решение: уравнение имеет один корень

x = \sqrt[7]{13}

Рассмотрим случай уравнения

x^{n} = a

при \(а<0\)

Обрати внимание!

1. Если показатель степени — чётное число, то уравнение не имеет корней.
2. Если показатель степени — нечётное число, то уравнение имеет один корень.

Пример:

реши уравнения.

x^{8} = - 7

Решение: уравнение не имеет корней.

x^{9} = - 4

Решение: по определению корня \(n\)-ой степени

x = - \sqrt[9]{4}

уравнение имеет один корень.

x^{3} = - 8

Решение:

\sqrt[3]{- 8} = - \sqrt[3]{8} = - 2

;

x = - 2

Уравнение имеет один корень.

Нашёл ошибку?