Теория:

Функция y=kx
Мы познакомимся с новой функцией — функцией y=kx.
Коэффициент \(k\) может принимать любые значения, кроме \(k = 0\). Рассмотрим сначала случай, когда \(k = 1\); таким образом, сначала речь пойдёт о функции y=1x.
 
Чтобы построить график функции y=1x, присвоим переменной \(x\) несколько конкретных значений и вычислим, пользуясь формулой  y=1x, значения переменной \(y\), которые будут им соответствовать. Рационально вычислять значения функции и выполнять построение графика сначала для положительных значений аргумента, а затем для отрицательных.
 
Шаг \(1\). При\(x = 1\), получим \(y = 1\);
при \(x = 2\), получим y=12;
при \(x = 4\), получим y=14;
при \(x = 8\), получим y=18;
при x=12, получим \(y = 2\);
при x=14, получим \(y = 4\);
при x=18 , получим \(y = 8\).
 
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
 
\(x\)\(1\)\(2\)\(4\)\(8\)121418
\(y\)\(1\)121418\(2\)\(4\)\(8\)
 
Построим найденные точки на координатной плоскости \(xOy\).
 
1_1.png
 
Шаг \(2\).
Если  \(x = -1\), то \(y = -1\);
если \(x = -2\), то y=12;
если \(x = -4\), то y=14;
если \(x = -8\), то y=18;
если x=12, то \(y = -2\);
если x=14, то \(y = -4\);
если x=18, то \(y = -8\).
 
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
\(x\)\(-1\)\(-2\)\(-4\)\(-8\)\(-\)12\(-\)14\(-\)18
\(y\)\(-1\)\(-\)12\(-\)14\(-\)18\(-2\)\(-4\)\(-8\)
 
Построим найденные точки на координатной плоскости \(xOy\).
 
1_2.png
 
Объединив оба чертежа в одном, получим следующий график.
 
1_3.png
 
Получили график функции y=1x — гиперболу.
Проанализируем график и опишем геометрические свойства гиперболы.
 
1) Гипербола симметрична. Всякая прямая, которая проходит через начало координат \(O\) и расположена в I и III четвертях, имеет с гиперболой две точки пересечения, лежащие на данной прямой с разных сторон относительно точки \(O\), однако на одинаковых от неё расстояниях. Например, точки: \((1; 1)\) и \((- 1; - 1)\), 2;12 и 2;12 и т. д.
 
Значит, \(O\) является центром симметрии гиперболы. Другими словами, гипербола симметрична относительно начала координат.
2) Ветви гиперболы — это симметричные части относительно начала координат, из которых состоит график.
 
3) Асимптоты — это прямые, к которым приближаются ветви гиперболы. В данном случае это координатные оси.
Значит, график функции y=1x, т. е. гипербола, имеет  \(2\) асимптоты: ось \(x\) и ось \(y\).
При более внимательном анализе можно заметить дополнительное «более тонкое свойство» (как говорят математики). 
 
Обрати внимание!
Гипербола имеет оси симметрии.
Проведём прямую \(y = x\).
 
1_4.png
 
Легко заметить: точки 2;12 и 12;2 находятся с разных сторон от прямой  \(y = x\), но на одинаковых расстояниях от неё. Данные точки симметричны относительно прямой \(y = x\). Это же утверждение справедливо для точек 4;14 и 14;4,8;18 и 18;8 и т. д.  Значит, прямая \(y =x\) — ось симметрии гиперболы y=1x (равно как и \(y = -x\)).