Теория:
Функция
Мы познакомимся с новой функцией — функцией .
Коэффициент \(k\) может принимать любые значения, кроме \(k = 0\). Рассмотрим сначала случай, когда \(k = 1\); таким образом, сначала речь пойдёт о функции .
Чтобы построить график функции , присвоим переменной \(x\) несколько конкретных значений и вычислим, пользуясь формулой , значения переменной \(y\), которые будут им соответствовать. Рационально вычислять значения функции и выполнять построение графика сначала для положительных значений аргумента, а затем для отрицательных.
Шаг \(1\).
При\(x = 1\), получим \(y = 1\);
при \(x = 2\), получим ;
при \(x = 4\), получим ;
при \(x = 8\), получим ;
при , получим \(y = 2\);
при , получим \(y = 4\);
при , получим \(y = 8\).
Занесём полученные значения координат в таблицу:
\(x\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | |||
\(y\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
Построим график функции по этим точкам.

Шаг \(2\).
Если \(x = -1\), то \(y = -1\);
если \(x = -2\), то ;
если \(x = -4\), то ;
если \(x = -8\), то ;
если , то \(y = -2\);
если , то \(y = -4\);
если , то \(y = -8\).
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
\(x\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
\(y\) | \(-1\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) |
Построим найденные точки на координатной плоскости \(xOy\).

Объединив оба чертежа в одном, получим следующий график.

Получили график функции — гиперболу.
1) Гипербола симметрична. Всякая прямая, которая проходит через начало координат \(O\) и расположена в \(I\) и \(III\) четвертях, имеет с гиперболой две точки пересечения, лежащие на данной прямой с разных сторон относительно точки \(O\), однако на одинаковых от неё расстояниях. Например, точки: \((1; 1)\) и \((- 1; - 1)\), и и т. д.
Значит, \(O\) является центром симметрии гиперболы. Другими словами, гипербола симметрична относительно начала координат.
2) Ветви гиперболы — это симметричные части относительно начала координат, из которых состоит график.
3) Асимптоты — это прямые, к которым приближаются ветви гиперболы. В данном случае это координатные оси.
Значит, график функции , т. е. гипербола, имеет \(2\) асимптоты: ось \(x\) и ось \(y\).
При более внимательном анализе можно заметить дополнительное «более тонкое свойство» (как говорят математики).
Обрати внимание!
Гипербола имеет оси симметрии.

Легко заметить: точки находятся с разных сторон от прямой \(y = x\), но на одинаковых расстояниях от неё. Данные точки симметричны относительно прямой \(y = x\). Это же утверждение справедливо для точек и т. д. Значит, прямая \(y =x\) — ось симметрии гиперболы (равно как и \(y = -x\)).
Источники:
Изображения: графикя. © ЯКласс.