Теория:
Нами была рассмотрена функция при \(k= 1\). Сейчас увидим поведение функции при другом положительном значении \(k\), например при \(k = 4\). Таким образом, функция будет иметь вид .
Заполним таблицу:
\(x\) | \(-8\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | |
\(y\) | \(-\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) | \(8\) | \(4\) | \(2\) | \(1\) |
Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (в точке \(0\) функция не определена, поэтому получили две ветви).
График функции называют гиперболой.
График функции \(y = -f(x)\) симметричен графику функции \(y = f(x)\) относительно оси \(x\). Таким образом, график функции симметричен графику относительно оси \(x\). Получится гипербола, ветви которой находятся во \(II\) и \(IV\) координатных углах.
Графиком функции () является гипербола, ветви которой находятся в \(I\) и \(III\) координатных углах при \(k > 0\), и во \(II\) и \(IV\) координатных углах при \(k < 0\).
Точка \((0; 0)\) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.
Две величины \(x\) и \(y\) обратно пропорциональны, если выполняется условие\(xy = k\) (где \(k\) — число, не равное \(0\)), следовательно, .
Функция имеет название — обратная пропорциональность, где число \(k\) является коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции при \(k > 0\)
1. Область определения функции — все числа, кроме нуля, то есть \(x\) \(0\).
2. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
3. Промежутки убывания: .
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Наименьшего значения нет; наибольшего значения нет.
6. Функция непрерывна на промежутках и имеет разрыв при \(x = 0\).
7. Область значений функции: .
Свойства функции при \(k < 0\)
1. Область определения функции:
2. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
3. Возрастает на .
4. Снизу и сверху не ограничена.
5. Не имеет наименьшего и наибольшего значений.
6. Непрерывна на промежутках .
7. Область значений функции: .