Теория:

Нами была рассмотрена функция y=kx при \(k= 1\). Сейчас увидим поведение функции при другом положительном значении \(k\), например при \(k = 4\). Таким образом, функция будет иметь вид y=4x.
Заполним таблицу:
 
\(x\)
\(-8\)
\(-4\)
\(-2\)
\(-1\)
\(-\)12
12
\(1\)
\(2\)
\(4\)
\(8\)
\(y\)
\(-\)12
\(-1\)
\(-2\)
\(-4\)
\(-8\)
\(8\)
\(4\)
\(2\)
\(1\)
12
 
Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (в точке \(0\) функция не определена, поэтому получили две ветви).
 
График 5.png
График функции y=kx называют гиперболой.
Сейчас рассмотрим случай при \(k < 0\), например, при \(k = - 4\). Тогда функция задана формулой y=4x, построим её график.
График функции \(y = -f(x)\) симметричен графику функции \(y = f(x)\) относительно оси \(x\). Таким образом, график функции y=4x симметричен графику y=4x относительно оси \(x\). Получится гипербола, ветви которой находятся во \(II\) и \(IV\) координатных углах.
 
рисунок 4.png
 
Графиком функции y=kx (k0) является гипербола, ветви которой находятся в \(I\) и \(III\) координатных углах при \(k > 0\), и во \(II\) и \(IV\) координатных углах при \(k < 0\).
Точка \((0; 0)\) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.
Две величины \(x\) и \(y\) обратно пропорциональны, если выполняется условие\(xy = k\) (где \(k\) — число, не равное \(0\)), следовательно, y=kx.
Функция y=kx имеет название — обратная пропорциональность, где число \(k\) является коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=kx при \(k > 0\)
Графиком этой функции является гипербола.
 
1_3.png
 
1. Область определения функции — все числа, кроме нуля, то есть \(x\)  \(0\).
2. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
3. Промежутки убывания: ;0 и 0;+.
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Наименьшего значения нет; наибольшего значения нет.
6. Функция непрерывна на промежутках ;0 и 0;+ и имеет разрыв при \(x = 0\).
7. Область значений функции: ;00;+.
Свойства функции y=kx при \(k < 0\)
Для описания свойств данной функции будем использовать гиперболу (её геометрическую модель).
 
1_7.png
 
1. Область определения функции: ;00;+
2. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
3. Возрастает на ;0 и 0;+.
4. Снизу и сверху не ограничена.
5. Не имеет наименьшего и наибольшего значений.
6. Непрерывна на промежутках ;0 и 0;+.
7. Область значений функции: ;00;+.