2. Превращение энергии при колебаниях математического маятника

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника.

 

Выберем систему отсчёта таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

 

 

Рис. \(1\). Схема колебательного движения математического маятника

 

При колебаниях математического маятника (рис. \(1\)) изменяется высота \(h\) грузика относительно положения равновесия и изменяется его скорость \(υ\).

 

Причём при максимальных смещениях высота достигает максимального значения $h_{\mathit{max}}$, а скорость становится равной нулю, в положении равновесия — наоборот: высота тела равна нулю, а скорость достигает максимального значения $v_{\mathit{max}}$.

 

Так как высота тела определяет его потенциальную энергию

 

$E_{п}=\mathit{mgh}$,

 

а скорость — кинетическую энергию

 

$E_{к}=\frac{m{v}^2}{2}$,

 

то вместе с изменением высоты и скорости будут изменяться и энергии.

 

Когда маятник находится в точке, где его смещение от положения равновесия максимально (крайняя левая или крайняя правая точка траектории его движения — точка \(A\)), то кинетическая энергия маятника равна минимально возможному значению — нулю:

 

${E_{к}}_{\mathit{min}}=0$,

 

а потенциальная энергия максимальна и равна:

 

${E_{п}}_{\mathit{max}}=\mathit{mg}{h}_{\mathit{max}}$.

 

Таким образом, полная механическая энергия маятника в крайних левой и правой точках равна:

 

$E_1={E_{п}}_{\mathit{max}}+{E_{к}}_{\mathit{min}}=\mathit{mg}{h}_{\mathit{max}}$.

 

Когда маятник находится в какой-либо промежуточной точке между крайней левой или правой точками (точками, где смещение маятника от положения равновесия максимально) и положением равновесия (точка \(B\)), то его полная механическая энергия \(E\) равна:

 

$E_2=E_{п}+E_{к}=\mathit{mgh}+\frac{m{v}^2}{2}$.

 

При этом потенциальная и кинетическая энергии принимают некоторые промежуточные значения, большие \(0\) и меньшие максимального значения:

 

$E_{п}=\mathit{mgh}<\mathit{mg}{h}_{\mathit{max}}$,

 

$E_{к}=\frac{m{v}^2}{2}<\frac{m{v}_{\mathit{max}}^2}{2}$.

 

Когда маятник проходит положение равновесия (точка \(O\)), то его кинетическая энергия максимальна и равна

 

${E_{к}}_{\mathit{max}}=\frac{m{v}_{\mathit{max}}^2}{2}$,

 

а потенциальная энергия принимает нулевое значение

 

${E_{п}}_{\mathit{min}}=0$.

 

Тогда полная механическая энергия в точке равновесия равна:

 

$E_3={E_{п}}_{\mathit{min}}+{E_{к}}_{\mathit{max}}$,

 

 

$E_3=0+\frac{m{v}_{\mathit{max}}^2}{2}=\frac{m{v}_{\mathit{max}}^2}{2}$.

 

Таким образом, можно составить цепочку превращений одного вида энергии в другой при движении математического маятника от крайней левой точки до положения равновесия:

 

точка \(A\)$\to$ точка \(B\)$\to$ точка \(O\),

 

${E_{п}}_{\mathit{max}}\to E_{п}+E_{к}\to {E_{к}}_{\mathit{max}}$,

 

 

$\mathit{mg}{h}_{\mathit{max}}\to \mathit{mgh}+\frac{m{v}^2}{2}\to \frac{m{v}_{\mathit{max}}^2}{2}$.

 

При движении математического маятника от положения равновесия до крайней правой точки происходит обратное превращение энергии: кинетическая энергия уменьшается от своего максимального значения до нуля, а потенциальная увеличивается от нуля до своего максимального значения.