1. Перпендикулярность прямой и плоскости

В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.

 

Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые \(a\) и \(b\) обозначают $a\perp b$.

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как $a\perp \mathrm{\alpha }$.

 
пусть \(a\) — прямая, перпендикулярная прямым \(b\) и \(c\) в плоскости. Проведём прямую \(a\) через точку \(A\) пересечения прямых \(b\) и \(c\). Докажем, что прямая \(a\) перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.

1. Проведём произвольную прямую \(x\) через точку \(A\) в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой \(a\). Проведём в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку \(A\) и пересекающую прямые \(b\), \(c\) и \(x\). Пусть точками пересечения будут \(B\), \(C\) и \(X\).

 

2. Отложим на прямой \(a\) от точки \(A\) в разные стороны равные отрезки \(AM\) и \(AN\).

 

3. Треугольник \(MCN\) равнобедренный, так как отрезок \(AC\) является высотой по условию теоремы и медианой по построению (\(AM=AN\)). По той же причине треугольник \(MBN\) тоже равнобедренный.

 

4. Следовательно, треугольники \(MBC\) и \(NBC\) равны по трём сторонам.

5. Из равенства треугольников \(MBC\) и \(NBC\) следует равенство углов \(MBX\) и \(NBX\) и, следовательно, равенство треугольников \(MBX\) и \(NBX\) по двум сторонам и углу между ними.

 

6. Из равенства сторон \(MX\) и \(NX\) этих треугольников заключаем, что треугольник \(MXN\) равнобедренный. Поэтому его медиана \(XA\) является также высотой. А это и значит, что прямая \(x\) перпендикулярна \(a\). По определению прямая \(a\) перпендикулярна плоскости.