Теория:
Следствия из аксиом
1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.
Доказательство
1) Рассмотрим прямую \(a\) и точку \(A\), которая не находится на этой прямой.
2) На прямой \(a\) выберем точки \(B\) и \(C\).
3) Так как все \(3\) точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки \(A\), \(B\) и \(C\) можно провести одну-единственную плоскость .
4) Исходя из третьей аксиомы, сделаем вывод о том, что плоскость проходит через прямую \(a\) и через точку \(A\). Т. к. точки прямой \(a\) — \(B\) и \(C\) — лежат на плоскости .
1) Рассмотрим прямую \(a\) и точку \(A\), которая не находится на этой прямой.
2) На прямой \(a\) выберем точки \(B\) и \(C\).
3) Так как все \(3\) точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки \(A\), \(B\) и \(C\) можно провести одну-единственную плоскость .
4) Исходя из третьей аксиомы, сделаем вывод о том, что плоскость проходит через прямую \(a\) и через точку \(A\). Т. к. точки прямой \(a\) — \(B\) и \(C\) — лежат на плоскости .
2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.
Доказательство
1) Рассмотрим прямые \(a\) и \(b\), которые пересекаются в точке \(C\).
2) Выберем такие точки, которые не будут совпадать с точкой \(C\). Точка \(A\) на прямой \(a\) и точка \(B\) на прямой \(b\).
3) Из второй аксиомы следует, что через точки \(A\), \(B\) и \(C\) можно провести одну-единственную плоскость . В таком случае прямые \(a\) и \(b\) находятся на плоскости (судя по третьей аксиоме).
1) Рассмотрим прямые \(a\) и \(b\), которые пересекаются в точке \(C\).
2) Выберем такие точки, которые не будут совпадать с точкой \(C\). Точка \(A\) на прямой \(a\) и точка \(B\) на прямой \(b\).
3) Из второй аксиомы следует, что через точки \(A\), \(B\) и \(C\) можно провести одну-единственную плоскость . В таком случае прямые \(a\) и \(b\) находятся на плоскости (судя по третьей аксиоме).
Пример:
даны пересекающиеся отрезки \(AC\) и \(BD\). Доказать, что все отрезки \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) находятся на одной плоскости.
Решение
1) Из второй теоремы следует, что через \(AC\) и \(BD\) можно провести только одну плоскость, которую обозначим . Это значит, что точки \(A, B, C\) и \(D\) принадлежат плоскости .
2) Из третьей аксиомы следует, что все точки прямых \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) принадлежат плоскости. Поэтому все соответствующие отрезки лежат на плоскости .
2) Из третьей аксиомы следует, что все точки прямых \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) принадлежат плоскости. Поэтому все соответствующие отрезки лежат на плоскости .