Теория:

 
Всё, что мы с вами изучали ранее, относится к такому разделу геометрии, как планиметрия.
  
Планиметрия — это раздел геометрии, изучающий двумерные фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в одной плоскости. Фигуры, изучаемые планиметрией: точка, отрезок, прямоугольник, квадрат, окружность и т.д.
Предметы, которые нас окружают, не всегда являются плоскими, чаще реальные объекты занимают некоторую часть пространства.
  
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Фигуры, изучаемые стереометрией: куб, шар, конус, параллелепипед, пирамида и т.д. 
Это слово \(στερεομετρία\) происходит от древнегреческих слов «stereos» — объёмный, пространственный и «metria» — измерение.
Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками.
Грани — это многоугольники, из которых состоит многогранник. Две соседние грани не могут лежать в одной плоскости.
 
Рёбра многогранника— это стороны граней, а вершины — это концы рёбер.
 
Диагональ многогранника — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми.
 
Oktaedrs.png

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.

Ieliekts.png
 
На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть — по другую сторону этой плоскости.
 
Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
 
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
 
Прямую называют перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.
Призма
Теперь можем ввести определение призмы.
\(n\)-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных \(n\)-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и \(n\)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин \(n\)-угольников отрезками параллельных прямых.
Равные \(n\)-угольники называют основаниями призмы.
 
Стороны многоугольников называют рёбрами оснований.
 
Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.
 
Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.
 
Призмы бывают прямыми и наклонными.
 
Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют правильной.
 
У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.
 
Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.
 
Psk_slips.png
 
На рисунке — наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B1E.
В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.
 
Trijst_pr.png
 
На рисунке — прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

Reg_cetrst_pr.png
 
На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
Четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы, называется параллелепипедом.
Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом.
 
Если основания прямого параллелепипеда — прямоугольники, то этот параллелепипед — прямоугольный.
  
Psk_taisns_dim_diag.png
 
На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
 
Например, AB, AD и AA1 можно называть измерениями.
 
Так как треугольники ABC и ACC1 — прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:
AC12=AB2+AD2+AA12.
  
Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.
В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.
 
Reg_sest_pr.png
 
На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.
Основные формулы для расчётов в прямых призмах
1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.H, где \(H\) — высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.
 
2. Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
 
3. Объём V=Sосн.H. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
Пирамида
\(n\)-угольная пирамида — многогранник, составленный из \(n\)-угольника в основании и \(n\)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.
\(n\)-угольник называют основанием пирамиды.
Треугольники — боковые грани пирамиды.
Общая вершина треугольников — вершина пирамиды.
Рёбра, выходящие из вершины — боковые рёбра пирамиды.
Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.
 
Visp_piram.png
 
На рисунке — шестиугольная пирамида \(GABCDEF\), проведена высота пирамиды \(GH\).
 
Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник, и высота соединяет вершину пирамиды с центром правильного многоугольника, называют правильной.
 
У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.
 
Высоту боковой грани правильной пирамиды называют апофемой.
 
Reg_cetrst_piram.png
 
На рисунке — правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды \(KO\) проведена от вершины \(K\) к центру основания \(O\).
 
Высота боковой грани \(KN\) — апофема.
 
Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют правильным тетраэдром:
ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCDп.
 
Tetraedrs.png
 
Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести диагональное сечение.
 
Reg_cetrst_piram11.png
 
На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.
Основные формулы для расчётов в правильных пирамидах
1. Боковая поверхность Sбок.=Pосн.h2, где \(h\) — апофема. Для пирамид, которые не являются правильными, необходимо определить отдельно поверхность каждой боковой грани.
 
2. Полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.
 
3. Объём V=13Sосн.H, где \(H\) — высота пирамиды. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.