1. Многогранники

 

Всё, что мы с вами изучали ранее, относится к такому разделу геометрии, как планиметрия.

  

Планиметрия — это раздел геометрии, изучающий двумерные фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в одной плоскости. Фигуры, изучаемые планиметрией: точка, отрезок, прямоугольник, квадрат, окружность и т.д.

Предметы, которые нас окружают, не всегда являются плоскими, чаще реальные объекты занимают некоторую часть пространства.

  

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Фигуры, изучаемые стереометрией: куб, шар, конус, параллелепипед, пирамида и т.д. 

Это слово \(στερεομετρία\) происходит от древнегреческих слов «stereos» — объёмный, пространственный и «metria» — измерение.

Рёбра многогранника— это стороны граней, а вершины — это концы рёбер.

 

Диагональ многогранника — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

 

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.

 

На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть — по другую сторону этой плоскости.

 

Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.

Теперь можем ввести определение призмы.

Равные \(n\)-угольники называют основаниями призмы.

 

Стороны многоугольников называют рёбрами оснований.

 

Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.

 

Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.

 

Призмы бывают прямыми и наклонными.

 

Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют правильной.

 

У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.

 

Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.

 

 

На рисунке — наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота $B_{1}E$.

В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.

 

 

На рисунке — прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

 

На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом.

  

 

На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

 

Например, $\mathit{AB}$, $\mathit{AD}$ и $A{A}_1$ можно называть измерениями.

 

Так как треугольники $\mathit{ABC}$ и $\mathit{AC}{C}_1$ — прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

${A{C}_1}^2={\mathit{AB}}^2+{\mathit{AD}}^2+{A{A}_1}^2$.

  

Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.

В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.

 

 

На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

1. Боковая поверхность $S_{\text{бок}.}=P_{\text{осн}.}\cdot H$, где \(H\) — высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.

 

2. Полная поверхность $S_{\text{полн}.}=2\cdot S_{\text{осн}.}+S_{\text{бок}.}$. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

 

3. Объём $V=S_{\text{осн}.}\cdot H$. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

\(n\)-угольник называют основанием пирамиды.

Треугольники — боковые грани пирамиды.

Общая вершина треугольников — вершина пирамиды.

Рёбра, выходящие из вершины — боковые рёбра пирамиды.

Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.

 

 

На рисунке — шестиугольная пирамида \(GABCDEF\), проведена высота пирамиды \(GH\).

 

Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник, и высота соединяет вершину пирамиды с центром правильного многоугольника, называют правильной.

 

У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.

 

Высоту боковой грани правильной пирамиды называют апофемой.

 

 

На рисунке — правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды \(KO\) проведена от вершины \(K\) к центру основания \(O\).

 

Высота боковой грани \(KN\) — апофема.

 

Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют правильным тетраэдром:

$\mathrm{\Delta }\mathit{ABC}=\mathrm{\Delta }\mathit{ABD}=\mathrm{\Delta }\mathit{ACD}=\mathrm{\Delta }\mathit{BCD}\text{п}$.

 

 

Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести диагональное сечение.

 

 

На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.