Теория:
Многогранник, одна грань которого является \(n\)-угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, \(n\)-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.
В зависимости от количества сторон основания пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:
1) первым рисуется основание,
2) по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,
3) вертикально проводится высота,
4) проводятся рёбра.
На рисунке изображена четырёхугольная пирамида \(SABCD\)
(первой пишут букву вершины).
Основание — четырёхугольник \(ABCD\).
Вершина проецируется в точку пересечения диагоналей \(O\) — основание высоты или проекция вершины.
\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) — рёбра пирамиды,
\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) — стороны основания.
В курсе средней школы в основном есть задачи, в которых даны:
- правильная пирамида (вершина проецируется в центр основания);
- пирамида, вершина которой проецируется в центр описанной окружности;
- пирамида, вершина которой проецируется в центр вписанной окружности;
- пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
- пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.
Углы пирамиды
Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.
Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.
Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.
Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.
Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.
На рисунке \(DSC\).
Основные формулы пирамиды
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:
(Некоторые формулы годятся только для определённых видов пирамиды.)
Площадь полной поверхности .
Объём пирамиды \(V =\) \(H\), где \(H\) — высота пирамиды.
Формула объёма используется для пирамид любого вида.
Источники:
Рис. 1. Пирамида, © ЯКласс.