Сечение шара плоскостью — урок. Геометрия, 11 класс.

Шар и сфера

Сферическая поверхность — это геометрическое место точек (т. е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной данной точки, которая называется центром сферической поверхности.

На рисунке все точки равноудалены от точки \(C\), радиус \(CA\) соединяет центр с точкой на сфере.

Рис. \(1\). Сфера.

Все расстояния от центра до любой точки на сфере одинаковы и равны радиусу. Используя формулу расстояния между точками с данными координатами, можно составить уравнение сферы:

\begin{array}{l} AC = \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2}} = R; \\ {AC}^{2} = {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2}; \end{array}

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2}

Шар — это тело, ограниченное сферической поверхностью.

Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.

Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов.

Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.

Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Рис. \(2\). Глобус.

Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара).

При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.

Рис. \(3\). Шар и его сечение.

Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу — на две сегментные поверхности.

Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной.

Радиусы, проведённые от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности, или сферическому поясу, образуют шаровой сектор, он может быть ограничен сферическим сегментом, или зоной, и одной или двумя коническими поверхностями.

Высота шаровой или сферической зоны — это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента, или сегментной поверхности, определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту. Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности, или сферического пояса.