Теория:
Рис. \(1\). Железная дорога. Рельсы не пересекаются.
Две прямые в плоскости, либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек).
На плоскости две прямые \(a\) и \(b\), которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются .
Обрати внимание!
Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Рис. \(2\). Выделенные малиновым цветом отрезки не параллельны.
Рассмотрим один из признаков параллельности прямых на плоскости.
1 признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Рис. \(3\). Один из признаков параллельности прямых на плоскости.
Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.
Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.
Рис. \(4\). Доказательство признака параллельности прямых на плоскости.
Получается противоречие — из одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:
1) вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые.
Рис. \(5\). Углы, образованные двумя пересекающимися прямыми.
Вертикальные углы равны: .
Сумма смежных углов :.
Рис. \(6\). Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
Накрест лежащие углы: ;
соответственные углы: ;
односторонние углы: .
Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\).
2 признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна \(180°\) — то прямые параллельны.
Рис. \(7\). Признаки параллельности прямых на плоскости.
Приведём доказательство.
Сначала докажем: если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\), и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Например, если , то .
Рис. \(8\). Признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.
Рис. \(9\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.
1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведём перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\).
2) \(=\) как вертикальные углы, \(=\) \(=\) , \(CK = KD\) — значит, \(=\) по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.
3) Очевидно, если прямоугольный, то и прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен к прямой \(b\).
4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).
Рис. \(10\). Признак параллельности прямых по равенству соответственных углов.
Рис. \(11\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству соответственных углов.
6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180°, имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\), и используем в доказательстве пункты 1) — 4).
Рис. \(12\). Признак параллельности прямых по сумме односторонних углов.
Рис. \(13\). Доказательство признака параллельности прямых по сумме односторонних углов.
О свойствах параллельных прямых — в следующем пункте теории.