Теория:
Признаки, которые мы рассматривали в первой части теории, и свойства, которые будем рассматривать в этой части, доказываем разными способами.
Признак — это некоторый факт, благодаря которому мы устанавливаем справедливость интересующего нас суждения о некотором объекте.
Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.
Свойство — если мы уверены в справедливости суждения, мы формулируем свойство объекта.
Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.
Аксиома, в свою очередь, такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливости которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.
Аксиома параллельных прямых.
В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.
Другие свойства параллельных прямых.
1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.
Эти свойства, в отличие от аксиомы, нужно доказать.
Докажем \(1\). Свойство.
Даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\). Верно ли, что если прямая \(c\) параллельна прямой \(a\), то она параллельна и прямой \(b\)?
Используем противоположное суждение.
Допустим, что возможна ситуация, когда прямая \(c\) параллельна одной из параллельных прямых — прямой \(a\) — пересекает другую прямую \(b\) в некоторой точке \(K\).
Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой \(a\). Такого не может быть, значит, прямые \(b\) и \(c\) пересекаться не могут.
Мы доказали, что верно: если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
Попробуй доказать самостоятельно \(2\). Свойство.
Если некая прямая \(c\) пересекает одну из двух параллельных прямых \(a\), то она пересекает и вторую параллельную прямую \(b\).
Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможна ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.
Перечислим свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей.
При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:
- накрест лежащие углы равны,
- соответственные углы равны,
- сумма односторонних углов равна \(180°\).
