1. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник

 

Точка \(C\) называется основанием перпендикуляра.

  

Докажем, что от точки \(A\), не лежащей на прямой \(BC\), можно провести перпендикуляр к этой прямой.

 

Допустим, что дан угол $\angle \mathit{ABC}$.

 

Отложим от луча \(BC\) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне \(BC\)).

Сторона \(BA\) совместится со стороной $B{A}_1$.

При этом точка \(A\) наложится на некоторую точку $A_1$.

Следовательно, совмещается угол $\angle \mathit{ACB}$ с $\angle A_1\mathit{CB}$.

Но углы $\angle \mathit{ACB}$ и $\angle A_1\mathit{CB}$ — смежные, значит, каждый из них прямой.

 

Прямая ${\mathit{AA}}_1$ перпендикулярна прямой \(BC\), а отрезок \(AC\) является перпендикуляром от точки \(A\) к прямой \(BC\).

Если допустить, что через точку \(A\) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой \(BC\), то он бы находился на прямой, пересекающейся с ${\mathit{AA}}_1$. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2) из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол $90\mathrm{°}$) — это и будет высота.

Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются. 

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

 

Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

\(AB = BC\) — боковые стороны, \(AC\) — основание.

Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, если из угла напротив основания провести биссектрису \(BD\).

Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) и докажем, что $\mathrm{\Delta }\mathit{ABD}=\mathrm{\Delta }\mathit{CBD}$.

Пусть \(BD\) — биссектриса треугольника \(ABC\). $\mathrm{\Delta }\mathit{ABD}=\mathrm{\Delta }\mathit{CBD}$ по первому признаку равенства треугольников (\(AB = BC\) по условию, \(BD\) — общая сторона, $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{CBD}$, так как \(BD\) — биссектриса).

 

У равных треугольников равны все соответствующие элементы:

1. $\angle A=\angle C$ — доказано, что прилежащие основанию углы равны.

2. \(AD = DC\) — доказано, что биссектриса является медианой.

3. $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{CDB}$ — так как смежные углы, сумма которых $180\mathrm{°}$, равны, то каждый из них равен $90\mathrm{°}$, то есть медиана является высотой.

 

Можно очень легко самостоятельно доказать и третье, и четвёртое свойства.