Теория:

Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Pazime2.png
Рис. \(1\). Второй признак равенства треугольников.
 
MN=PR;N=R;M=P.
Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так как MN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.
 
2. Так как N=R и M=P, то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).
 
3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).
 
4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит, они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Pazime3.png
Рис. \(2\). Третий признак равенства треугольников.
 
MN=PR;KN=TR;MK=PT.
 
Опять попробуем совместить треугольники ΔMNK и ΔPRT наложением и убедиться, что соответственно равные стороны гарантируют и равенство соответственных углов этих треугольников, и они полностью совпадут.
Pazime3_pierad.png
Рис. \(3\). Доказательство третьего признака равенства треугольников.
 
Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и \(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.

Пусть \(O\) — середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN=PR, KN=TR. Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).
 
Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит, перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.
 
Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).
  
Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.
 
Картинка 3.png   
Рис. \(4\). Буровая вышка.
 
Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.
 
Об этом говорят сказки.
Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросёнка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.
 
Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».
 
И в заключение ещё раз вспомним все признаки равенства треугольников.
 
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Источники:
Рис. 4. Буровая вышка. Указание авторства не требуется, https: //clck.ru/V8C5p.