Теория:
Пифагор (\(570\)–\(490\) года до н. э.) — древнегреческий математик, мыслитель и философ.
Рис. \(1\). Пифагор
Факты биографии Пифагора достоверно не известны. О его жизненном пути можно судить лишь по произведениям других древнегреческих философов. По их мнению, математик Пифагор общался с известнейшими мудрецами, учёными того времени.
Известно, что долгое время Пифагор пробыл в Египте, изучая местные таинства.
Известно, что долгое время Пифагор пробыл в Египте, изучая местные таинства.
Философия Пифагора, его образ жизни привлекли многих последователей, но у философа и учёного было и много противников.
Как математик Пифагор достиг больших успехов. Одна из самых известных геометрических теорем — теорема Пифагора, ему приписывают открытие и доказательство теоремы, создание таблицы Пифагора.
Как математик Пифагор достиг больших успехов. Одна из самых известных геометрических теорем — теорема Пифагора, ему приписывают открытие и доказательство теоремы, создание таблицы Пифагора.
Рис. \(2\). Теорема Пифагора
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
В истории математики находим утверждения, что эту теорему знали за много лет до Пифагора, например, древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами \(3\), \(4\) и \(5\) является прямоугольным.
В наше время теорема звучит так (подразумевая не только площади, но и длины сторон прямоугольного треугольника):
Рис. \(3\). Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов .
Известны очень многие доказательства теоремы разными математическими методами, но одни из самых наглядных связаны с площадями.
1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника . Площадь квадрата равна :
Рис. \(4\). Первое доказательство теоремы Пифагора
2. Если провести гипотенузы \(c\), очевидно, что они образовали квадрат внутри построенного квадрата.
Стороны четырёхугольника равны \(c\), а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают , то угол четырёхугольника также равен , потому что вместе все три угла дают .
Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников и площади квадрата, образованного гипотенузами.
Рис. \(5\). Второе доказательство теоремы Пифагора
3. На двух сторонах квадрата поменяем местами отрезки \(a\) и \(b\), при этом длина стороны квадрата не меняется.
Теперь площадь квадрата можем сложить из двух площадей квадратов, образованных катетами \(a\) и \(b\), и двух площадей прямоугольников:
Рис. \(6\). Третье доказательство теоремы Пифагора
4. Из этого следуют выводы:
.
Обрати внимание!
Если находим длину гипотенузы \(c\), то выполняем сложение квадратов длин катетов \(a\) и \(b\) и определяем квадратный корень:
Если находим длину одного катета, то выполняем вычитание длины квадрата другого катета из квадрата длины гипотенузы и определяем квадратный корень:
Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.
Пример:
является ли треугольник со сторонами \(6\) см, \(7\) см и \(9\) см прямоугольным?
Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:
— значит, этот треугольник не прямоугольный.
Является ли треугольник со сторонами \(5\) см, \(12\) см и \(13\) см прямоугольным?
Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:
— значит, этот треугольник прямоугольный.
Чтобы не тратить много времени на решение, полезно запомнить наиболее часто используемые числа Пифагора:
катет, катет, гипотенуза
\(3\), \(4\), \(5\);
\(6\), \(8\), \(10\);
\(12\), \(16\), \(20\);
\(5\), \(12\), \(13\).
Посмотри ещё одно своеобразное доказательство теоремы Пифагора:
Рис. \(7\). Четвёртое доказательство теоремы Пифагора
Источники:
Рис. 2, 3, 4, 5, 6. Доказательства теоремы Пифагора, © ЯКласс.
Рис. 7. Четвёртое доказательство теоремы Пифагора, http://linguaggio-macchina.blogspot.com