Теория:
Правильными называют многоугольники, у которых равны все стороны и все углы.

Если в правильных выпуклых многоугольниках провести диагонали, то образуются правильные вогнутые многоугольники:
из диагоналей пятиугольника получается пентаграмма, из диагоналей шестиугольника — гексаграмма, а из диагоналей семиугольника — даже две разные гептаграммы.

Если провести все диагонали из одной вершины, любой \(n\)-угольник можно поделить на \(n-2\) треугольника, таким образом сумма всех внутренних углов определяется по формуле .

Так как все углы правильного \(n\)-угольника равны, то величина одного внутреннего угла равна .
Около любого правильного многоугольника можно описать и вписать в него окружность, при этом совпадают центры обеих окружностей, и эту точку называют центром многоугольника.
Вписанная окружность касается всех сторон, описанная окружность проходит через все вершины.

.
Обозначим \(AH=a\).
В треугольнике \(AOK\) связаны сторона \(AK\) (половина \(AH\)), радиус описанной окружности \(OA = R\) и радиус вписанной окружности \(OK = r\).
Так как \(n\)-угольник состоит из \(n\) треугольников, равных \(AOH\), то
.
Для правильного треугольника и квадрата дополнительно в силе все формулы, которые были рассмотрены в курсе геометрии.
Источники:
Изображение: правильные многоугольники. © ЯКласс.