1. Синус, косинус и тангенс угла

В системе координат построим полуокружность радиуса \(1\) с центром в начале координат.

 

 

Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

 

В треугольнике \(AOX\):

$\mathit{sin}\mathrm{\alpha }=\frac{\mathit{AX}}{\mathit{AO}};\mathit{cos}\mathrm{\alpha }=\frac{\mathit{OX}}{\mathit{AO}}$.

Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то $\mathit{sin}\mathrm{\alpha }=\mathit{AX};\mathit{cos}\mathrm{\alpha }=\mathit{OX}$.

Следовательно, для углов $0\mathrm{°}\le \mathrm{\alpha }\le 180\mathrm{°}$ видно, что $-1\le \mathit{cos}\mathrm{\alpha }\le 1;0\le \mathit{sin}\mathrm{\alpha }\le 1$.

Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для $0\mathrm{°};90\mathrm{°};180\mathrm{°}$.

 

 

Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют $90\mathrm{°}$, то оба выразим через $\mathrm{\alpha }$.

 

 

Если $\mathit{sin}\mathrm{\alpha }=\frac{\mathit{AX}}{\mathit{AO}};\mathit{cos}\mathrm{\alpha }=\frac{\mathit{OX}}{\mathit{AO}}$, то $\mathit{sin}\left(90\mathrm{°}-\mathrm{\alpha }\right)=\frac{\mathit{OX}}{\mathit{AO}};\mathit{cos}\left(90\mathrm{°}-\mathrm{\alpha }\right)=\frac{\mathit{AX}}{\mathit{AO}}$.

 

Видим, что справедливы равенства:

 

Рассмотрим тупой угол, который также выразим через $\mathrm{\alpha }$.

 

Справедливы следующие равенства:

Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем ${\mathit{AX}}^2+{\mathit{OX}}^2=1$. Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем  

Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус

(как уже отмечено, синус для углов $0\mathrm{°}\le \mathrm{\alpha }\le 180\mathrm{°}$ только 0 или положительный):

 

$\begin{array}{l}{\mathit{sin}}^2\mathrm{\alpha }+{\mathit{cos}}^2\mathrm{\alpha }=1;\\ \\ {\mathit{sin}}^2\mathrm{\alpha }=1-{\mathit{cos}}^2\mathrm{\alpha };\\ \\ \mathit{sin}\mathrm{\alpha }=\sqrt{1-{\mathit{cos}}^2\mathrm{\alpha }}\end{array}$ 

 

— или величину косинуса угла, если дан синус:

 

 

Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.