Теория:
Теорема \(1\). Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Теорема \(2\). (обратная) Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
Теорема \(3\). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Теорема \(4\). (обратная) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Первая замечательная точка треугольника — точка пересечения биссектрис
Теорема \(5\). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
\(AN\), \(BM\) — биссектрисы, \(O\) — точка их пересечения.
Является ли биссектрисой \(CK\)? Если точка \(O\) равноудалена от сторон \(AB\) и \(AC\) и от сторон \(BA\) и \(BC\), то она лежит на биссектрисе угла , так как равноудалена от сторон угла.
Эта точка и есть центр вписанной в треугольник окружности, всегда находится в треугольнике. 
Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника
Теорема \(6\). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Допустим, точка \(O\) — точка пересечения двух серединных перпендикуляров сторон \(AB\) и \(BC\). Она равноудалена и от точек \(A\) и \(B\), и от точек \(B\) и \(C\). Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре стороны \(AC\), так как равноудалена от её конечных точек.
Эта точка и есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.
Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан
Теорема \(7\). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении \(2 : 1\), считая от вершины.
Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.
Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника
Теорема \(8\). Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.
В \(1765\) году немецкий математик Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названой позже прямой Эйлера.
В двадцатых годах \(XIX\) века французские математики Понселе, Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.
