Теория:
Окружность, описанная около треугольника
Окружность называют описанной около треугольника, если все вершины треугольника расположены на окружности.
Её центр равноудалён от всех вершин, то есть должен находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Следовательно, около любого треугольника можно описать окружность, так как серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.
Для остроугольного треугольника центр окружности находится в треугольнике.
Другая ситуация с прямоугольным и тупоугольным треугольниками.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности.
Следовательно, в любой треугольник можно вписать окружность, так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Так как биссектрисы углов треугольника всегда пересекаются внутри треугольника, то для всех треугольников центр вписанной окружности находится в треугольниках.
Формулы
Равносторонний треугольник
Обрати внимание!
У равностороннего треугольника совпадают биссектрисы, медианы и высоты, то есть, эти отрезки являются также серединными перпендикулярами. Это значит, что центры описанной и вписанной окружности совпадают.
Радиус описанной окружности
, поэтому .
Радиус вписанной окружности
, где \(h\) — высота треугольника.
Если дана сторона треугольника \(a\), то .
Поэтому .
Прямоугольный треугольник
Радиус описанной окружности
, где \(c\) — гипотенуза.
Радиус вписанной окружности
, где \(p\) — полупериметр.
Произвольный треугольник
Радиус описанной окружности
;
, где — угол, противолежащий стороне \(a\);
.
Радиус вписанной окружности
, где \(p\) — полупериметр.