1. Общие сведения о системах счисления

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

 

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления.

В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек.

Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта.

 

Унарную систему ещё называют системой бирок.

В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления — пример позиционной системы счисления.

Алфавит десятичной системы составляют цифры \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\). Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются.

Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».

 

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число \(q > 1\). Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием \(q\) служат числа \(0, 1, ..., q -1\), каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является \(0\).

 

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

 

В позиционной системе счисления с основанием \(q\) любое число может быть представлено в виде:

$A_q=\pm \left(a_{n-1}\cdot q^{n-1}+a_{n-2}\cdot q^{n-2}+...+a_0\cdot q^0+a_{-1}\cdot q^{-1}+...+a_{-m}\cdot q^{-m}\right)$.

 

Здесь:

\(А\) — число;

\(q\) — основание системы счисления; 

$a_i$ — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; 

\(n\) — количество целых разрядов числа;

\(m\) — количество дробных разрядов числа; 

$q^i$ — «вес» \(i\)-го разряда.

Запись числа по формуле называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде $\pm a_{n-1}{a}_{n-2}...a_1{a}_0...a_{-m}$.