Теория:

Решим такую задачу.
Пример:
разделим \(738\) конфет поровну на \(9\) человек, не выполняя вычислений, а только применяя признаки делимости суммы и произведения.
В числе \(738\) содержится \(7\) сотен, \(3\) десятка и \(8\) единиц.
 
- Если делить поровну на \(9\) человек одну сотню конфет, то каждый получит по \(11\) конфет, и \(1\) конфета останется. А от семи сотен каждый получит по \(77\) конфет, и останутся \(7\) конфет.

- Если делить поровну на \(9\) человек один десяток конфет, то каждый получит по \(1\) конфете, и \(1\) конфета останется. А от трёх десятков каждый получит по \(3\) конфеты, и останутся \(3\) конфеты.
 
Неразделёнными останутся \(7\) конфет от сотен, \(3\) конфеты от десятков и ещё \(8\) конфет. Всего неразделёнными остались  \(7 + 3 + 8 = 18\) конфет, которые делятся поровну на \(9\) человек.

Ещё по \(2\) конфеты каждому, поэтому каждый получит по \(77 + 3 + 2 = 82\) конфеты.
 
Значит, число \(738\) делится без остатка на \(9\), а \(7 + 3 + 8\) — это сумма цифр этого числа.
Сформулируем признак делимости на \(9\): 
Если сумма цифр числа делится на  \(9\), то число делится на  \(9\).
Пример:
число \(747\) делится на \(9\), т. к. сумма цифр числа \(7 + 4 + 7 = 18\) делится на \(9\).
Аналогично проводятся рассуждения при определении делимости чисел на число \(3\).
 
Признак делимости на \(3\) звучит так: 
натуральное число делится на \(3\) тогда и только тогда, когда делится на \(3\) сумма его цифр.
Пример:
число \(71445\) делится на \(3\), т. к. сумма цифр числа \(7 + 1 + 4 + 4 + 5 = 21\) делится на \(3\).