Теория:

Рациональные числа — это числа вида mn, где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное число.
Множество рациональных чисел принято обозначать буквой .
 
Выполняется соотношение  , поскольку любое число \(m\) можно представить в виде  m1.
Итак, можно сказать, что
рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.
 
К рациональным числам относятся и десятичные дроби, т. к. они являются частным случаем обыкновенных дробей.
Рациональные числа можно представлять не только в формате mn, но и в другом, который рассмотрен ниже.
Рассмотрим целое число \(7\), обыкновенную дробь 511 и десятичную дробь \(4,244\). Целое число \(7\) можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(7,0000...\)
Десятичную дробь \(4,244\) тоже можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(4,244000...\)
Для числа 511 применим метод «деления углом»:
 
ugol1.png
Замечаем, что в дробной части полученного частного повторяются одни и те же цифры: \(45, 45, 45\)...
То есть 511 \(= 0,454545...\)
Период (повторяющуюся комбинацию цифр после запятой) записывают в круглых скобках: \(0,(45)\).
Такую дробь называют  бесконечной десятичной периодической дробью.
  
Число \(7\) также можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число \(0\):
\(7 = 7,00000... = 7,(0)\).

Аналогичная ситуация с числом \(4,244\):

\(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).

Принято считать, что: \(4,244\) — конечная десятичная дробь, а \(4,244000...\) — бесконечная десятичная дробь.

Всякое рациональное число представимо в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное: всякая бесконечная десятичная периодическая дробь представима в виде обыкновенной дроби.

Пример:

представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь

а) \(1,(47)\);      б) \(1,3(47)\).

Решение
а) Пусть \(x  = 1,(47)\), т. е. \(x\) \(=\) \(1,474747...\)
Умножим \(x\) на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Период содержит две цифры, поэтому умножаем число \(x\) на \(100\), чтобы передвинуть запятую на два знака вправо. Получим:
\(100x = 147,474747...\)
Следовательно,
_ \(100x = 147,474747...  \)
           \( x = 1,474747... \)
_________________________________
\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)
 \(99x = 146\);
\(x=\)14699.
Итак, \(1,(47) =\) 14699 \(= 1\) 4799.
 
б) Пусть \(x = 1,3(47) = 1,3474747... \) Сначала умножим \(x\) на \(10\), чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: \(10x = 13,474747...\) Теперь число \(10x\) умножим на \(100\) — тогда запятая сместится ровно на один период вправо:
\(1000x = 1347,474747...\)
Имеем:
_\(1000x = 1347,474747...\)
       \(10x = 13,474747... \)
__________________________
  \( 990x = 1334\);
\(x =\) 1334990 \(=\) 667495 \(= 1\) 172495.