Теория:
Рациональные числа — это числа вида , где m — целое число, а n — натуральное число.
Это множество включает в себя множество целых чисел , так как целое число \(m\) можно представить в виде .
Итак, можно сказать, что
Итак, можно сказать, что
рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.
К рациональным числам относятся и десятичные дроби, т. к. они являются частным случаем обыкновенных дробей.
Рассмотрим целое число \(7\), обыкновенную дробь и десятичную дробь \(4,244\). Целое число \(7\) можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(7,0000...\)
Десятичную дробь \(4,244\) тоже можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(4,244000...\)
Для числа применим метод «деления углом»:
Замечаем, что в дробной части полученного частного повторяются одни и те же цифры: \(45, 45, 45\)...
То есть \(= 0,454545...\)
Период (повторяющуюся комбинацию цифр после запятой) записывают в круглых скобках: \(0,(45)\).
Такую дробь называют бесконечной десятичной периодической дробью.
\(7 = 7,00000... = 7,(0)\).
Аналогичная ситуация с числом \(4,244\):
\(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).
Принято считать, что: \(4,244\) — конечная десятичная дробь, а \(4,244000...\) — бесконечная десятичная дробь.
Всякое рациональное число представимо в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Верно и обратное: всякая бесконечная десятичная периодическая дробь представима в виде обыкновенной дроби.
Пример:
представьте в виде обыкновенной дроби
а) \(1,(47)\); б) \(1,3(47)\).
Решение
а) Обозначим \(x = 1,(47)\), т. е. \(x\) \(=\) \(1,474747...\)
Чтобы запятая сместилась на один период вправо, умножим число \(x\) на \(100\). Получим:
Чтобы запятая сместилась на один период вправо, умножим число \(x\) на \(100\). Получим:
\(100x = 147,474747...\)
Следовательно,
_ \(100x = 147,474747... \)
\( x = 1,474747... \)
_________________________________
\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)
\(99x = 146\);
\(x=\).
Итак, \(1,(47) =\) \(= 1\) .
б) Введем обозначение: пусть \(x = 1,3(47) = 1,3474747... \);
необходимо получить число, в котором период начинается сразу после запятой. Для этого умножим \(x\) на \(10\): \(10x = 13,474747...\);
чтобы запятая сместилась на один период вправо, умножим число \(10x\) на \(100\):
необходимо получить число, в котором период начинается сразу после запятой. Для этого умножим \(x\) на \(10\): \(10x = 13,474747...\);
чтобы запятая сместилась на один период вправо, умножим число \(10x\) на \(100\):
\(1000x = 1347,474747...\)
Получим:
_\(1000x = 1347,474747...\)
\(10x = 13,474747... \)
__________________________
\( 990x = 1334\);
\(x =\) \(=\) \(= 1\) .