Теория:

Рациональные числа — это числа вида mn, где m — целое число, а n — натуральное число.
Множество рациональных чисел обозначают буквой .
 
Это множество включает в себя множество целых чисел  , так как целое число \(m\) можно представить в виде  m1.
Итак, можно сказать, что
рациональные числа — это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.
 
К рациональным числам относятся и десятичные дроби, т. к. они являются частным случаем обыкновенных дробей.
Рациональные числа можно представлять не только в формате mn, но и в другом, который рассмотрен ниже.
Рассмотрим целое число \(7\), обыкновенную дробь 511 и десятичную дробь \(4,244\). Целое число \(7\) можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(7,0000...\)
Десятичную дробь \(4,244\) тоже можно представить в виде бесконечной десятичной дроби \(4,244000...\)
Для числа 511 применим метод «деления углом»:
 
5,00000¯11¯0,4545...5044¯6055¯5044¯6055¯...
 
Замечаем, что в дробной части полученного частного повторяются одни и те же цифры: \(45, 45, 45\)...
То есть 511 \(= 0,454545...\)
Период (повторяющуюся комбинацию цифр после запятой) записывают в круглых скобках: \(0,(45)\).
Такую дробь называют  бесконечной десятичной периодической дробью.
  
Число \(7\) также можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число \(0\):
\(7 = 7,00000... = 7,(0)\).

Аналогичная ситуация с числом \(4,244\):

\(4,244 = 4,244000... =4,244(0)\).

Принято считать, что: \(4,244\) — конечная десятичная дробь, а \(4,244000...\) — бесконечная десятичная дробь.

Всякое рациональное число представимо в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное: всякая бесконечная десятичная периодическая дробь представима в виде обыкновенной дроби.

Пример:

представьте в виде обыкновенной дроби

а) \(1,(47)\);      б) \(1,3(47)\).

Решение
а) Обозначим \(x  = 1,(47)\), т. е. \(x\) \(=\) \(1,474747...\)
Чтобы запятая сместилась на один период вправо, умножим число \(x\) на \(100\). Получим:
\(100x = 147,474747...\)
Следовательно,
_ \(100x = 147,474747...  \)
           \( x = 1,474747... \)
_________________________________
\(100x - x = 147,474747... - 1,474747...\)
 \(99x = 146\);
\(x=\)14699.
Итак, \(1,(47) =\) 14699 \(= 1\) 4799.
 
б) Введем обозначение: пусть \(x = 1,3(47) = 1,3474747... \);
необходимо получить число, в котором период начинается сразу после запятой. Для этого умножим \(x\) на \(10\): \(10x = 13,474747...\);
чтобы запятая сместилась на один период вправо, умножим число \(10x\) на \(100\):
\(1000x = 1347,474747...\)
Получим:
_\(1000x = 1347,474747...\) 
       \(10x = 13,474747... \)
__________________________
  \( 990x = 1334\);
\(x =\) 1334990 \(=\) 667495 \(= 1\) 172495.