Теория:
1. После приставок, оканчивающихся на гласную букву, в соответствии с произношением пишется и.
Пример:
проиграть, поиск, внутриигровой.
2. После приставок меж– и сверх– пишется буква и.
Пример:
межинститутский, сверхинтеллектуальный.
Также буква и после приставки вз– пишется в слове взимать.
3. В корне слова после русских приставок на согласную буква и заменяется на ы.
Пример:
безынтересный, разыгранный, подытожить.
4. В корне слова после иноязычных приставок на согласную (дез–, контр–, пан–, пост–, суб–, супер–, транс–), пишется буква и.
Пример:
дезинфекция, контригра, постирония.
5. Правило правописания и после приставок не распространяется на написание сложносокращённых слов. После первой части таких слов всегда пишется буква и.
Пример:
пединститут, госинспекция, политинформация.