Теория:
Треугольники. Равенство треугольников
Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки.
Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.
Обозначение треугольника:
, или , или буквы вершин в любом другом порядке.
Обозначение угла:
, или .
Обозначение стороны:
или .
Сторону, которая лежит напротив угла, называют противолежащей углу, и угол называют противолежащим стороне.
Углы, которые имеет одну общую сторону, называют прилежащими этой стороне.
Сумма сторон треугольника называется периметром.
Если два треугольника можно совместить наложением, их называют равными.
При этом совпадают все стороны и все углы.
То есть, противолежащие стороны соответственно равных углов тоже равны, и противолежащие углы соответственно равных сторон равны.
Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
Обозначение равных треугольников:
, или буквы вершин в любом другом порядке, но соблюдая следующее правило.
Обрати внимание!
В каком порядке названы вершины одного треугольника, в таком же порядке называют соответствующие вершины равного треугольника.
На практике не всегда можно применить наложение для сравнивания фигур. Чаще необходимо ограничиться измерением некоторых элементов фигур и по этим измерениям судить о равенстве фигур.
Докажем, что для равенства двух треугольников достаточно двух равных сторон и угла, который образован этими сторонами.
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?
1. Так как , то треугольник можно наложить на треугольник так, что вершина \(N\) совместится с вершиной \(R\), а стороны \(NM\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(RP\) и \(RT\).
2. Поскольку , то сторона \(MN\) совместится со стороной \(PR\), а сторона \(KN\) — со стороной \(TR\), в частности совместятся точки \(M\) и \(P\), \(K\) и \(T\).
3. Следовательно, совместятся стороны \(MK\) и \(PT\). Итак, и полностью совместятся, значит, они равны.